Dragović sinh ra tại Viên trong một gia đình người Serbia đến từ Belgrade và là cổ động viên của đội bóng Sao Đỏ Beograd.[16]

Dragović đã phải nhận nhiều lời chỉ trích nặng nề sau hành động vỗ vào đầu chính trị gia người Thụy Sĩ Ueli Maurer nhiều lần trong lễ ăn mừng danh hiệu vô địch cùng Basel vào tháng 5 năm 2012.[17] Ban đầu anh từ chối xin lỗi vì cho rằng đó chỉ là hành động vui vẻ nhưng sau cùng đã phải đến xin lỗi trực tiếp ông Ueli Maurer.[18]